Esperança a Partir da Função Geradora de Momentos

Para calcular a esperança (ou valor esperado) de uma variável aleatória $X$ a partir da função geradora de momentos, denotada por $M_{X} (t)$ , podemos seguir os passos abaixo:

Definição da Função Geradora de Momentos:
A função geradora de momentos é definida como:

M_{X} (t) = E [e^{t X}] = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{E [X^{k}]}{k!} t^{k}

para uma variável aleatória discreta, ou

M_{X} (t) = E [e^{t X}] = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t x} f (x) d x

para uma variável aleatória contínua, onde $f (x)$ é a função de densidade de probabilidade.

Calculando a Esperança:
A esperança $E [X]$ pode ser obtida derivando a função geradora de momentos em relação ao parâmetro $t$ e avaliando no ponto $t = 0$ . Isso se deve à propriedade da função geradora de momentos que relaciona os momentos da variável aleatória com suas derivadas.
- Derivada Primeira:

M_{X}^{'} (t) = \frac{d}{d t} E [e^{t X}] = E [X e^{t X}]

Avaliando em $t = 0$ :

M_{X}^{'} (0) = E [X]

Derivada Segunda:

M_{X}^{″} (t) = \frac{d^{2}}{d t^{2}} E [e^{t X}] = E [X^{2} e^{t X}]

Avaliando em $t = 0$ :

M_{X}^{″} (0) = E [X^{2}]

Exemplo:
Considere uma variável aleatória discreta $X$ com Distribuição de Bernoulli, onde $P (X = 1) = p$ e $P (X = 0) = 1 - p$ . A função geradora de momentos é:

M_{X} (t) = E [e^{t X}] = (1 - p) + p e^{t}

Derivando em relação a $t$ :

M_{X}^{'} (t) = p e^{t}

Avaliando em $t = 0$ :

M_{X}^{'} (0) = p

Portanto, a esperança é:

E [X] = p