Função Característica

Seja $X$ uma variável aleatória. A função característica de $X$ é definida como:

φ_{X} (t) = E [e^{i t X}], para todo t \in R

onde $i$ é a unidade imaginária tal que $i^{2} = - 1$ , e $E$ representa o valor esperado.

Propriedades Importantes

Existência: A função característica sempre existe, pois $| e^{i t X} | = 1$ , logo $E [| e^{i t X} |] \leq 1$ .
Unicidade: A função característica determina de forma única a distribuição de $X$ . Ou seja, se duas variáveis aleatórias têm a mesma função característica, então possuem a mesma distribuição.
Continuidade: $φ_{X} (t)$ é uma função contínua em $t$ .
Em $t = 0$ : Sempre temos $φ_{X} (0) = 1$ .
Simetria: $φ_{X} (- t) = \overset{―}{φ_{X} (t)}$ , onde $\overset{―}{z}$ representa o conjugado complexo de $z$ .
Derivadas: Se $X$ tem momentos finitos, então $φ_{X} (t)$ é derivável, e:

φ_{X}^{(k)} (0) = i^{k} E [X^{k}]

Assim, é possível obter os momentos de $X$ a partir das derivadas da função característica.

Exemplo: Variável Aleatória Uniforme

Se $X \sim Uniforme (a, b)$ , então sua função característica é dada por:

φ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{a}^{b} e^{i t x} \cdot \frac{1}{b - a}, d x = \frac{e^{i t b} - e^{i t a}}{i t (b - a)}

Utilização

Teorema Central do Limite: A função característica é uma ferramenta essencial para demonstrar este teorema.
Somas de Variáveis Aleatórias: Se $X$ e $Y$ são independentes, então $φ_{X + Y} (t) = φ_{X} (t) \cdot φ_{Y} (t)$ .
Estudo de Convergência: A convergência pontual de funções características pode implicar a convergência em distribuição das variáveis associadas.