Sigma-Álgebra

Uma sigma álgebra (ou $σ$ -álgebra) é um conceito fundamental na teoria da medida e probabilidade. Formalmente, uma sigma álgebra sobre um conjunto $X$ é uma coleção de subconjuntos de $X$ , denotada por $F$ , que satisfaz as seguintes propriedades:

$\emptyset \in F$ : O conjunto vazio pertence à sigma álgebra.
Se $A \in F$ , então $X ∖ A \in F$ : Se um subconjunto estiver na sigma álgebra, seu complemento também deve estar presente.
Se ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ for uma sequência contável de elementos em $F$ , então $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in F$ : A união contável de subconjuntos na sigma álgebra também deve estar presente.

Exemplos

Exemplo 1: Espaço Métrico

Considere o conjunto $X = [0, 1]$ . Uma sigma álgebra sobre este conjunto pode ser a coleção de todos os subintervalos fechados e abertos em $[0, 1]$ .

Exemplo 2: Conjunto Finito

Seja $X = {a, b, c}$ . A maior sigma álgebra possível é $P (X) = {\emptyset, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}$ .

Aplicações

Teoria da Medida

As sigma álgebras são essenciais na definição de medidas. Uma medida $μ$ é uma função que associa a cada conjunto em uma sigma álgebra um valor não negativo ou infinito, representado por:

μ : F \to [0, + \infty]

Probabilidade

Em probabilidade, as sigma álgebras são usadas para definir eventos e suas probabilidades. Se $Ω$ é o espaço amostral de um experimento aleatório, uma sigma álgebra sobre $Ω$ define os eventos que podem ocorrer.