Espaço de Probabilidade Produzido por Variável Aleatória

Introdução

Seja $(Ω, F, P)$ um modelo de probabilidade e considere $X : Ω \to R$ uma variável aleatória definida em $(Ω, F)$ . A medida de probabilidade induzida por $X$ , denotada por $μ_{X}$ , é definida como:

μ_{X} (B) = P (X^{- 1} (B)) para todo B \in B (R),

onde $B (R)$ representa a sigma-álgebra das partes borelianas de $R$ , e $X^{- 1} (B) = {ω \in Ω : X (ω) \in B}$ é o conjunto inverso de $X$ . Em outras palavras, $μ_{X} (B)$ fornece a probabilidade de que a variável aleatória $X$ assuma um valor pertencente ao conjunto boreliano $B$ .

Por exemplo, se $X$ é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade $f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ , então a medida de probabilidade induzida por $X$ pode ser expressa como:

μ_{X} (B) = \int_{B} f_{X} (x) d x .

Neste caso, $μ_{X} ((0, 1))$ representa a probabilidade de que $X$ assuma um valor entre 0 e 1.

Exemplo

μ_{X} (B) = P (X^{- 1} (B)) para todo B \in B (R),

onde $B (R)$ representa a sigma-álgebra das partes borelianas de $R$ , e $X^{- 1} (B) = ω \in Ω : X (ω) \in B$ é o conjunto inverso de $X$ . Em outras palavras, $μ_{X} (B)$ fornece a probabilidade de que a variável aleatória $X$ assuma um valor pertencente ao conjunto boreliano $B$ .

Por exemplo, se $X$ é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade

f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}},

então a medida de probabilidade induzida por $X$ pode ser expressa como:

μ_{X} (B) = \int_{B} f_{X} (x), d x .

Neste caso, $μ_{X} ((0, 1))$ representa a probabilidade de que $X$ assuma um valor entre 0 e 1.

Propriedades

1. Não negatividade

A medida $μ_{X}$ é sempre não negativa, ou seja, para qualquer conjunto boreliano $B$ , temos:

μ_{X} (B) \geq 0.

2. Normalização

A medida de probabilidade total deve ser 1, ou seja:

μ_{X} (R) = P (X^{- 1} (R)) = P (Ω) = 1.

3. Aditividade contável (ou σ-aditividade)

Se ${B_{i}}_{i \in N}$ for uma sequência de conjuntos borelianos disjuntos dois a dois, então:

μ_{X} (⋃_{i = 1}^{\infty} B_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} μ_{X} (B_{i}) .

4. Probabilidade de um ponto (caso discreto)

Se $X$ for uma variável aleatória discreta assumindo valores em um conjunto finito ou enumerável $x_{1}, x_{2}, \dots$ com probabilidades $P (X = x_{i}) = p_{i}$ , então a medida induzida é dada por:

μ_{X} (B) = \sum_{x_{i} \in B} p_{i} .

5. Formulação via função de distribuição

A medida de probabilidade $μ_{X}$ pode ser descrita em termos da função de distribuição acumulada (FDA) de $X$ , definida como:

F_{X} (x) = P (X \leq x) .

Neste caso, para um intervalo $B = (a, b]$ , temos:

μ_{X} ((a, b]) = F_{X} (b) - F_{X} (a) .

6. Relação com a função densidade (caso contínuo)

Se $X$ for uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade $f_{X} (x)$ , então:

μ_{X} (B) = \int_{B} f_{X} (x), d x .

Isso significa que a medida de probabilidade induzida é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue.

7. Transformação de Variáveis Aleatórias

Seja $Y = g (X)$ uma nova variável aleatória obtida aplicando uma função $g$ à variável $X$ . A medida de probabilidade de $Y$ pode ser expressa em termos da medida de $X$ da seguinte forma:

μ_{Y} (B) = μ_{X} (g^{- 1} (B)) .

Se $X$ for contínua e $g$ for diferenciável e estritamente monótona, então a densidade de $Y$ pode ser obtida pela fórmula da mudança de variáveis:

f_{Y} (y) = f_{X} (x) | \frac{d x}{d y} |, onde x = g^{- 1} (y) .