Esperança de uma Variável Aleatória

Seja $X$ uma variável aleatória discreta com função de probabilidade $P_{X} (x)$ , a esperança (ou média, ou valor esperado) de $X$ é definida como

E (X) = \sum_{x \in Im (X)} x . P (X = x)

onde $Im (X)$ representa o conjunto de todos os valores possíveis que a variável aleatória $X$ pode assumir. Esta fórmula calcula a soma ponderada dos valores possíveis de $X$ , onde cada valor é multiplicado pela sua respectiva probabilidade.

Por exemplo, considere uma v.a. discreta $X$ que representa o número de caras ao lançar duas moedas justas. As possíveis saídas são: 0 caras (ambas coroas), 1 cara (uma cara e outra coroa), ou 2 caras (ambas caras). A função de probabilidade para cada resultado é:

P (X = 0) = \frac{1}{4}, P (X = 1) = \frac{1}{2}, P (X = 2) = \frac{1}{4}

A esperança $E (X)$ pode ser calculada como:

E (X) = 0 \cdot P (X = 0) + 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2)

E (X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}

E (X) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Portanto, a esperança da v.a. $X$ neste exemplo é 1.

Esperança de Funções de Variáveis Aleatórias Discretas

Agora que entendemos como calcular a esperança de uma variável aleatória discreta, vamos explorar como calcular a esperança de uma função dessa variável. Seja $g (X)$ uma função qualquer definida em $Im (X)$ . A esperança da função $g (X)$ é dada por:

E (g (X)) = \sum_{x \in Im (X)} g (x) . P_{X} (x)

Esta fórmula indica que a esperança de uma função de variável aleatória é a soma ponderada dos valores da função $g$ em cada possível valor de $X$ , onde os pesos são as respectivas probabilidades.

Exemplo: Função Quadrática

Considere o mesmo exemplo anterior, onde $X$ representa o número de caras ao lançar duas moedas justas. Agora, vamos calcular a esperança da função quadrática $g (X) = X^{2}$ . As possíveis saídas e suas probabilidades são:

P (X = 0) = \frac{1}{4}, P (X = 1) = \frac{1}{2}, P (X = 2) = \frac{1}{4}

A esperança de $g (X)$ pode ser calculada como:

E (g (X)) = E (X^{2}) = 0^{2} \cdot P (X = 0) + 1^{2} \cdot P (X = 1) + 2^{2} \cdot P (X = 2)

Substituindo os valores, temos:

E (X^{2}) = 0^{2} \cdot \frac{1}{4} + 1^{2} \cdot \frac{1}{2} + 2^{2} \cdot \frac{1}{4}

E (X^{2}) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{4}{4} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

Portanto, a esperança da função quadrática $g (X) = X^{2}$ neste exemplo é $\frac{3}{2}$ .

Propriedades Importantes

Linearidade: A esperança é uma operação linear, ou seja,

E (a X + b) = a E (X) + b para constantes a e b .

Esperança de Função Constante: Se $g (X) = c$ (uma constante), então

E (g (X)) = E (c) = c .

Esperança da Variável Aleatória Elevada ao Quadrado:

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2},

onde $Var (X)$ é a variância de $X$ .

Estas propriedades são úteis para simplificar cálculos e entender melhor as relações entre diferentes funções de variáveis aleatórias.

Esperança de Variáveis Aleatórias Contínuas

Agora que você já tem uma boa compreensão da esperança para variáveis aleatórias discretas, vamos explorar como calcular a esperança para variáveis aleatórias contínuas. As ideias são semelhantes, mas agora envolvem integrais em vez de somas.

Definição

A esperança (ou valor esperado) de uma variável aleatória contínua $X$ com função de densidade de probabilidade $f_{X} (x)$ é dada por:

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x) d x

Essa integral representa a soma ponderada dos valores possíveis de $X$ , onde os pesos são as respectivas densidades de probabilidade.

Exemplo: Variável Aleatória Uniforme

Considere uma variável aleatória contínua $X$ que segue uma distribuição uniforme no intervalo $[0, 1]$ . A função de densidade de probabilidade é:

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & se 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & caso contrário \end{cases}

A esperança $E (X)$ pode ser calculada como:

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x) d x

Como $f_{X} (x) = 0$ fora do intervalo $[0, 1]$ , a integral simplifica para:

E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 1 d x = \int_{0}^{1} x d x

Calculando o integral:

E (X) = {[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Portanto, a esperança da variável aleatória $X$ é $\frac{1}{2}$ .

Esperança de Funções de Variáveis Aleatórias Contínuas

Agora vamos calcular a esperança de uma função $g (X)$ de uma variável aleatória contínua $X$ . Se $g (X)$ for uma função qualquer, a esperança é dada por:

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x

Exemplo: Função Quadrática

Considere novamente a variável aleatória $X$ que segue uma distribuição uniforme no intervalo $[0, 1]$ . Vamos calcular a esperança da função quadrática $g (X) = X^{2}$ .

A função de densidade de probabilidade é:

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & se 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & caso contrário \end{cases}

A esperança $E (X^{2})$ pode ser calculada como:

E (X^{2}) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f_{X} (x) d x

Como $f_{X} (x) = 0$ fora do intervalo $[0, 1]$ , a integral simplifica para:

E (X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot 1 d x = \int_{0}^{1} x^{2} d x

Calculando o integral:

E (X^{2}) = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}

Portanto, a esperança da função quadrática $g (X) = X^{2}$ é $\frac{1}{3}$ .

Propriedades Importantes

As propriedades importantes da esperança para variáveis aleatórias contínuas são as mesmas das discretas:

Linearidade: A esperança é uma operação linear, ou seja,

E (a X + b) = a E (X) + b para constantes a e b .

Esperança de Função Constante: Se $g (X) = c$ (uma constante), então

E (g (X)) = E (c) = c .

Relação com Variância:

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = Var (X)

Onde $Var (X)$ é a variância de $X$ .

Essas propriedades permitem calcular a variância de uma variável aleatória contínua, que é um conceito importante em estatística e probabilidade.

Resumo

Discreta:

E (X) = \sum_{x} x f_{X} (x)

E (g (X)) = \sum_{x} g (x) f_{X} (x)

Contínua:

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x) d x

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x