Funções de Variáveis Aleatórias

Se $X$ é uma variável aleatória (va) definida em um espaço de probabilidade $(Ω, F, P)$ , e $g : R \to R$ é uma função real, então a transformação $Y = g (X)$ também será uma variável aleatória.

Transformação de Variáveis Aleatórias

A transformação $Y = g (X)$ é uma nova variável aleatória definida como:

Y (ω) = g (X (ω))

para todo $ω \in Ω$ . Isso significa que para cada evento $ω$ no espaço amostral, a va $Y$ produz um valor real.

A transformação de uma variável aleatória (VA) pode ser analisada em dois contextos principais: quando a VA original é discreta e quando ela é contínua. Em ambos os casos, a transformação $Y = g (X)$ gera uma nova variável aleatória, mas a forma de determinar sua distribuição de probabilidade varia.

A transformação $Y = g (X)$ é uma nova variável aleatória definida como:

Y (ω) = g (X (ω))

para todo $ω \in Ω$ . Isso significa que para cada evento $ω$ no espaço amostral, a va $Y$ produz um valor real.

Caso Discreto

Se $X$ for uma variável aleatória discreta com valores possíveis $x_{1}, x_{2}, \dots$ e função de massa de probabilidade (pmf) $P (X = x_{i}) = p_{i}$ , então a variável transformada $Y = g (X)$ terá uma distribuição discreta com valores possíveis $y_{i} = g (x_{i})$ e probabilidades:

P (Y = y_{i}) = P (X = x_{i}) = p_{i}

se $g$ for injetora. Caso contrário, se houver valores distintos de $X$ que resultem no mesmo $Y$ , devemos somar as probabilidades correspondentes:

P (Y = y) = \sum_{x_{i} : g (x_{i}) = y} P (X = x_{i})

Caso Contínuo

Se $X$ for uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade (pdf) $f_{X} (x)$ , então a densidade de $Y = g (X)$ pode ser obtida da seguinte forma:

Se $g$ for uma função monotônica diferenciável, a função densidade de $Y$ é dada por:

f_{Y} (y) = f_{X} (x) | \frac{d x}{d y} |

onde $x = g^{- 1} (y)$ .

Se $g$ não for monotônica, a densidade de $Y$ é obtida somando as contribuições de todas as raízes $x_{i}$ de $y = g (x)$ :

f_{Y} (y) = \sum_{x_{i} : g (x_{i}) = y} f_{X} (x_{i}) {| \frac{d x}{d y} |}_{x_{i}}

Exemplo

Seja $X \sim N (0, 1)$ uma variável aleatória normal padrão e consideremos $Y = X^{2}$ . A densidade de $Y$ pode ser obtida considerando as raízes $x = \pm \sqrt{y}$ :

f_{Y} (y) = f_{X} (\sqrt{y}) | \frac{d}{d y} \sqrt{y} | + f_{X} (- \sqrt{y}) | \frac{d}{d y} (- \sqrt{y}) |

Substituindo $f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}$ :

f_{Y} (y) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} (e^{- y / 2} + e^{- y / 2}) \frac{1}{2 \sqrt{y}}

para $y > 0$ .