Variância de uma Variável Aleatória

A variância é uma medida fundamental na teoria das probabilidades e estatística, usada para quantificar a dispersão ou variabilidade dos valores que uma variável aleatória pode assumir. Ela fornece informações sobre a "dispersão" dos dados em relação à média.

Definição

A variância de uma variável aleatória $X$ , denotada por $Var (X)$ ou $σ_{X}^{2}$ , é definida como:

Var (X) = E [(X - μ)^{2}]

onde:

$E [\cdot]$ representa a esperança matemática,
$μ$ é a média (esperança matemática) da variável aleatória $X$ .

Interpretando a Variância

A variância é sempre não negativa, e seu valor zero indica que todos os valores da variável são iguais à sua média. A unidade de medida da variância é o quadrado da unidade de medida dos dados originais.

Exemplo 1: Variância de Uma Variável Discreta

Considere a variável aleatória discreta $X$ com valores possíveis ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ e probabilidades correspondentes ${p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}}$ . A variância de $X$ é:

Var (X) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (x_{i} - μ)^{2}

Exemplo 2: Variância de Uma Variável Contínua

Para uma variável aleatória contínua $X$ com função densidade de probabilidade $f (x)$ , a variância é:

Var (X) = \int_{- \infty}^{\infty} (x - μ)^{2} f (x) d x

Relação com o Desvio Padrão

O desvio padrão ( $σ_{X}$ ) é a raiz quadrada da variância:

σ_{X} = \sqrt{Var (X)}

Propriedades da Variância

Propriedade Linear: Se $a$ e $b$ sã constantes, então:

Var (a + b X) = a^{2} \cdot Var (X)

Propriedade de Soma: Para duas variáveis aleatórias independentes $X$ e $Y$ :

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)

Propriedade de Produto (para variáveis independentes):

Var (X Y) = E (X^{2}) E (Y^{2}) - [E (X) E (Y)]^{2}