Variável Aleatória Discreta

Seja $X : Ω \to R$ uma variável aleatória definida em um espaço amostral $Ω$ equipado com uma probabilidade $P$ . A medida induzida por $X$ é denotada por $P_{X}$ , e a função de distribuição acumulada (FDA) associada a $X$ é dada por $F_{X} (x)$ .

Dizemos que $X$ é uma variável aleatória discreta se sua função de distribuição acumulada $F_{X} (x)$ satisfaz as seguintes propriedades:

1. Definição da Fda para Va Discreta

F_{X} (x) = P (X \leq x)

Esta expressão representa a probabilidade de que o valor da variável aleatória $X$ seja menor ou igual a um determinado ponto $x$ .

2. Característica Principal de Va Discretas

A FDA de uma variável aleatória discreta é uma função constante por partes, o que significa que ela salta em certos pontos específicos correspondentes aos valores possíveis da variável aleatória.

3. Exemplo

Considere $X$ como a variável aleatória que representa o número de caras ao lançar duas moedas justas. Os valores possíveis de $X$ são 0, 1 e 2.

Para $x < 0$ , $F_{X} (x) = 0$ .
Para $0 \leq x < 1$ , $F_{X} (x) = P (X = 0) = \frac{1}{4}$ .
Para $1 \leq x < 2$ , $F_{X} (x) = P (X = 0) + P (X = 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ .
Para $x \geq 2$ , $F_{X} (x) = 1$ .

Portanto, a FDA de $X$ é:

F_{X} (x) = {\begin{cases} 0 & se x < 0 \\ \frac{1}{4} & se 0 \leq x < 1 \\ \frac{3}{4} & se 1 \leq x < 2 \\ 1 & se x \geq 2 \end{cases}

4. Interpretação

A função constante por partes da FDA reflete a natureza discreta dos valores que $X$ pode assumir, com saltos significativos em cada valor possível de $X$ .

5. Consequências Práticas

A probabilidade de $X$ assumir um valor específico é dada pelo salto na FDA.
Por exemplo, a probabilidade de $X = 1$ é:

P (X = 1) = F_{X} (1^{+}) - F_{X} (1^{-}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Onde $F_{X} (1^{+})$ e $F_{X} (1^{-})$ representam os valores da FDA à direita e à esquerda de 1, respectivamente.