Variável Aleatória Mista

Uma variável aleatória mista é um tipo especial de variável aleatória que combina características tanto das variáveis aleatórias discretas quanto contínuas. Mais precisamente, uma variável aleatória $X$ é considerada mista se ela pode ser expressa como a soma de uma variável aleatória discreta e uma variável aleatória contínua.

Estrutura Matemática

Seja $X$ uma variável aleatória mista. Ela pode ser escrita na forma:

X = X_{d} + X_{c},

onde:

$X_{d}$ é uma variável aleatória discreta, que assume valores em um conjunto contável.
$X_{c}$ é uma variável aleatória contínua, cuja distribuição tem uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida.

A função de distribuição acumulada (f.d.a.) de $X$ , denotada por $F_{X} (x)$ , pode ser expressa como:

F_{X} (x) = P (X \leq x) = P (X_{d} + X_{c} \leq x) .

Exemplos

Exemplo 1: Variável Aleatória com Componente Discreta e Contínua

Considere uma variável aleatória $X$ que representa o tempo de espera em um sistema, onde:
- Com probabilidade $\frac{1}{3}$ , o tempo é exatamente igual a 5 minutos.
- Com probabilidade $\frac{2}{3}$ , o tempo segue uma distribuição normal com média 10 minutos e desvio padrão 2 minutos.
Neste caso:

X_{d} = {\begin{cases} 5 & com probabilidade \frac{1}{3}, \\ \infty & com probabilidade \frac{2}{3} . \end{cases}

$X_{c}$ segue uma distribuição normal com média 10 e desvio padrão 2.

Exemplo 2: Combinação de Distribuições

Considere a variável aleatória $Y$ , que representa o tamanho de um determinado tipo de grão em um campo agrícola, onde:
- Com probabilidade $\frac{1}{4}$ , os grãos têm exatamente 5mm.
- Com probabilidade $\frac{3}{4}$ , os tamanhos seguem uma distribuição normal com média 6mm e desvio padrão 0.5mm.
Aqui:

Y_{d} = {\begin{cases} 5 & com probabilidade \frac{1}{4}, \\ \infty & com probabilidade \frac{3}{4} . \end{cases}

$Y_{c}$ segue uma distribuição normal com média 6 e desvio padrão 0.5.

Integração de Uma Variável Aleatória Mista

Para calcular a esperança (ou valor esperado) de uma variável aleatória mista, podemos usar a fórmula:

E [X] = \sum_{x_{d}} x_{d} P (X = x_{d}) + \int_{- \infty}^{\infty} x_{c} f_{X} (x_{c}) d x_{c},

onde:

$X_{d}$ são os valores discretos da variável aleatória.
$P (X = x_{d})$ é a probabilidade de $X$ assumir o valor $x_{d}$ .
$X_{c}$ é a variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade (f.d.p.) $f_{X} (x_{c})$ .

Exemplo 1: Variável Aleatória com Componente Discreta e Contínua

Considere uma variável aleatória $X$ que representa o tempo de espera em um sistema, onde:

Com probabilidade $\frac{1}{3}$ , o tempo é exatamente igual a 5 minutos.
Com probabilidade $\frac{2}{3}$ , o tempo segue uma distribuição normal com média 10 minutos e desvio padrão 2 minutos.

Neste caso:

X_{d} = {\begin{cases} 5 & com probabilidade \frac{1}{3}, \\ \infty & com probabilidade \frac{2}{3} . \end{cases}

A variável aleatória contínua $X_{c}$ segue uma distribuição normal com média $μ = 10$ e desvio padrão $σ = 2$ . A f.d.p. de $X_{c}$ é:

f_{X} (x_{c}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x_{c} - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} .

A esperança de $X$ pode ser calculada como:

E [X] = 5 \cdot \frac{1}{3} + \int_{- \infty}^{\infty} x_{c} f_{X} (x_{c}) d x_{c} .

Primeiro, calculemos a integral para a variável aleatória contínua $X_{c}$ :

\int_{- \infty}^{\infty} x_{c} f_{X} (x_{c}) d x_{c} = \int_{- \infty}^{\infty} x_{c} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x_{c} - 10)^{2}}{8}} d x_{c} .

Usando a propriedade da distribuição normal, sabemos que:

\int_{- \infty}^{\infty} x_{c} f_{X} (x_{c}) d x_{c} = μ = 10.

Portanto,

E [X] = 5 \cdot \frac{1}{3} + 10 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3} + \frac{20}{3} = \frac{25}{3} \approx 8.33 .

Exemplo 2: Combinação de Distribuições

Considere a variável aleatória $Y$ que representa o tamanho de um determinado tipo de grão em um campo agrícola, onde:

Com probabilidade $\frac{1}{4}$ , os grãos têm exatamente 5mm.
Com probabilidade $\frac{3}{4}$ , os tamanhos seguem uma distribuição normal com média 6mm e desvio padrão 0.5mm.

Neste caso:

Y_{d} = {\begin{cases} 5 & com probabilidade \frac{1}{4}, \\ \infty & com probabilidade \frac{3}{4} . \end{cases}

A variável aleatória contínua $Y_{c}$ segue uma distribuição normal com média $μ = 6$ e desvio padrão $σ = 0.5$ . A f.d.p. de $Y_{c}$ é:

f_{Y} (y_{c}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(y_{c} - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} .

A esperança de $Y$ pode ser calculada como:

E [Y] = 5 \cdot \frac{1}{4} + \int_{- \infty}^{\infty} y_{c} f_{Y} (y_{c}) d y_{c} .

Primeiro, calculemos a integral para a variável aleatória contínua $Y_{c}$ :

\int_{- \infty}^{\infty} y_{c} f_{Y} (y_{c}) d y_{c} = \int_{- \infty}^{\infty} y_{c} \cdot \frac{1}{0.5 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(y_{c} - 6)^{2}}{0.5}} d y_{c} .

Usando a propriedade da distribuição normal, sabemos que:

\int_{- \infty}^{\infty} y_{c} f_{Y} (y_{c}) d y_{c} = μ = 6.

Portanto,

E [Y] = 5 \cdot \frac{1}{4} + 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{4} + \frac{18}{4} = \frac{23}{4} = 5.75 .